Der Router ist zwar DHCP-Server, jedoch geht die DHCP-Anfrage vom Client aus, in dem dieser einen UDP-Broadcast in sein Netzsegment verschickt und darauf wartet, dass ein DHCP-Server antwortet und ihm eine IP-Adresse, DNS-Server und Gateway zuweist.
Unter Sting ist mir kein Client bekannt; bei Mint heißt dieser "dhclient".